Exercice 28

On applique le théorème 2 pour l'équation homogène, puis la variation de la constante, sauf lorsqu'une solution particulière est évidente.

(a) Une primitive de $x^{2}$ est $\frac{x^{3}}{3}$, et la constante $-1$ est solution. $$\boxed{y(x) = -1 + \lambda\,\mathrm{e}^{-x^{3}/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (b) L'équation homogène a pour solutions les $\lambda\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$, et $\lambda'(x) = \mathrm{e}^{x - x^{2}}\mathrm{e}^{x^{2}} = \mathrm{e}^{x}$. $$\boxed{y(x) = (\mathrm{e}^{x} + \lambda)\,\mathrm{e}^{-x^{2}}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (c) Le coefficient de $y$ admet la primitive $A(x) = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$ ; les solutions homogènes sont donc les $\lambda\sqrt{1 + x^{2}}$. On obtient $\lambda'(x) = (1 + x^{2})^{-3/2}$, que l'on primitive par le changement de variable $x = \tan\theta$ : $$\int \frac{\mathrm{d} x}{(1 + x^{2})^{3/2}} = \int \cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}.$$

$$\boxed{y(x) = x + \lambda\sqrt{1 + x^{2}}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ On aurait pu remarquer directement que $y = x$ est solution, puisque $1 - \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}}$.

(d) Avec $y = \lambda(x)\,\mathrm{e}^{-x}$, on obtient $\lambda'(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}$, de la forme $\frac{u'}{u}$. $$\boxed{y(x) = \big(\ln(1 + \mathrm{e}^{x}) + \lambda\big)\,\mathrm{e}^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (e) L'équation homogène a pour solutions les $\lambda\,\mathrm{e}^{x^{2}}$, et $\lambda'(x) = (1 - 2x)\,\mathrm{e}^{x - x^{2}}$, qui est la dérivée de $\mathrm{e}^{x - x^{2}}$. $$\boxed{y(x) = \mathrm{e}^{x} + \lambda\,\mathrm{e}^{x^{2}}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (f) Sur $]0\,,+\infty[$, $A(t) = -2\ln t$, les solutions homogènes sont les $\lambda t^{2}$, et $\lambda'(t) = t^{2}\cdot t^{-2} = 1$. $$\boxed{y(t) = t^{3} + \lambda t^{2}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (g) Ici $A(t) = \ln t$, les solutions homogènes sont les $\frac{\lambda}{t}$, et $\lambda'(t) = \frac{1}{t(1 + t^{2})}\cdot t = \frac{1}{1 + t^{2}}$. $$\boxed{y(t) = \frac{\operatorname{Arctan} t + \lambda}{t}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$ (h) Une primitive de $-\tan$ est $\ln(\cos x)$ sur $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$, donc les solutions homogènes sont les $\frac{\lambda}{\cos x}$, et $\lambda'(x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\cos x = 1$. $$\boxed{y(x) = \frac{x + \lambda}{\cos x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$