Exercice 50

On note $\alpha = \ln a$, $\beta = \ln b$, $\gamma = \ln c$ et $m = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}$, de sorte que $m = \ln G$. Pour $t \neq 0$, on passe à l'exponentielle : $$M(t) = \exp\Big(\frac{1}{t}\ln S(t)\Big), \qquad\text{avec}\qquad S(t) = \frac{a^{t} + b^{t} + c^{t}}{3} = \frac{\mathrm{e}^{\alpha t} + \mathrm{e}^{\beta t} + \mathrm{e}^{\gamma t}}{3}.$$

1. Le développement de l'exponentielle (théorème 5), par substitution, donne $\mathrm{e}^{\alpha t} = 1 + \alpha t + o(t)$, et de même pour $\beta$ et $\gamma$. En faisant la moyenne, $$S(t) = 1 + mt + o(t).$$ On pose $v = S(t) - 1 = mt + o(t)$, qui est un $O(t)$ et tend vers $0$. Comme $\ln(1 + v) = v + o(v)$, on a $\ln S(t) = mt + o(t)$, donc $\frac{1}{t}\ln S(t) = m + o(1)$ tend vers $m$, et la continuité de l'exponentielle conclut : $$\boxed{\lim\limits_{t \to 0} M(t) = \mathrm{e}^{m} = G = \sqrt[3]{abc}}$$ L'expression proposée vaut $M\big(\frac{1}{x}\big)$, et $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ : par composition des limites, $$\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \Big(\frac{a^{1/x} + b^{1/x} + c^{1/x}}{3}\Big)^{x} = \sqrt[3]{abc}}$$

Piège. L'erreur la plus répandue est de conclure que $M(t)$ tend vers $1$, puisque $S(t)$ tend vers $1$. C'est une forme indéterminée $1^{\infty}$ : l'exposant $\frac{1}{t}$ explose, et seul le développement de $\ln S(t)$ à l'ordre $1$ permet de conclure, comme pour $\big(1 + \frac{1}{n}\big)^{n}$ dans le cours.

2. Il faut un terme de plus. Avec $\mathrm{e}^{\alpha t} = 1 + \alpha t + \frac{\alpha^{2}t^{2}}{2} + o(t^{2})$, et en notant $q = \frac{\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}}{3}$, on obtient $$S(t) = 1 + mt + \frac{q}{2}t^{2} + o(t^{2}).$$ On compose avec $\ln(1 + v) = v - \frac{v^{2}}{2} + o(v^{2})$ (proposition 11), où $v = mt + \frac{q}{2}t^{2} + o(t^{2})$ vérifie $v^{2} = m^{2}t^{2} + o(t^{2})$ : $$\ln S(t) = mt + \frac{q - m^{2}}{2}\,t^{2} + o(t^{2}).$$ En développant les carrés, on vérifie que $q - m^{2} = \frac{1}{3}\big((\alpha - m)^{2} + (\beta - m)^{2} + (\gamma - m)^{2}\big) = \frac{D}{3}$, où l'on a posé $$D = \Big(\ln\frac{a}{G}\Big)^{2} + \Big(\ln\frac{b}{G}\Big)^{2} + \Big(\ln\frac{c}{G}\Big)^{2},$$ puisque $\alpha - m = \ln a - \ln G = \ln\frac{a}{G}$. Ainsi $\frac{1}{t}\ln S(t) = \ln G + \frac{D}{6}t + o(t)$, puis, avec $\mathrm{e}^{w} = 1 + w + o(w)$ pour $w = \frac{D}{6}t + o(t)$, $$M(t) = G\exp\Big(\frac{D}{6}t + o(t)\Big) = G + \frac{GD}{6}\,t + o(t).$$ Cette égalité, établie pour $t \neq 0$, reste vraie en $t = 0$ puisque $M(0) = G$ : la fonction $M$ admet un développement limité à l'ordre $1$ en $0$, donc elle y est dérivable (proposition 10), et $$\boxed{M'(0) = \frac{GD}{6} = \frac{G}{6}\bigg(\Big(\ln\frac{a}{G}\Big)^{2} + \Big(\ln\frac{b}{G}\Big)^{2} + \Big(\ln\frac{c}{G}\Big)^{2}\bigg)}$$ Si $a$, $b$, $c$ ne sont pas tous égaux, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ne sont pas tous égaux à leur moyenne $m$, et $D > 0$. Alors $M(t) - G \sim \frac{GD}{6}t$ (proposition 13), qui a le signe de $t$ au voisinage de $0$ (proposition 5) : $$\boxed{M(-t) < G < M(t) \quad\text{pour tout } t > 0 \text{ assez petit}}$$ Par exemple, pour $a = 1$, $b = 2$ et $c = 4$, on trouve $$G = 2, \qquad M(1) = \frac{7}{3} \approx 2{,}333, \qquad M(-1) = \frac{12}{7} \approx 1{,}714, \qquad M'(0) = \frac{2}{3}(\ln 2)^{2} \approx 0{,}320 ;$$ numériquement, $M(0{,}1) \approx 2{,}032$ et $M(-0{,}1) \approx 1{,}968$, en accord avec la pente trouvée.

3. L'expression étant symétrique en $a$, $b$, $c$, on peut supposer que $\mu = a$ est le plus grand des trois. Pour $t > 0$, chacun des trois termes de $S(t)$ est compris entre $0$ et $\mu^{t}$, et l'un d'eux vaut $\mu^{t}$ ; ainsi $\frac{\mu^{t}}{3} \leqslant S(t) \leqslant \mu^{t}$. En élevant à la puissance $\frac{1}{t} > 0$, fonction croissante, on obtient $$\mu\,3^{-1/t} \leqslant M(t) \leqslant \mu,$$ et $3^{-1/t} = \mathrm{e}^{-(\ln 3)/t}$ tend vers $1$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Par encadrement, $M(t)$ tend vers $\mu$. Pour $t = -s$ avec $s > 0$, on a $$M(-s) = \bigg(\Big(\frac{(1/a)^{s} + (1/b)^{s} + (1/c)^{s}}{3}\Big)^{1/s}\bigg)^{-1},$$ et ce qui précède, appliqué à $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$, montre que la quantité entre parenthèses tend, quand $s$ tend vers $+\infty$, vers $$\max\Big(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}\Big) = \frac{1}{\min(a, b, c)}.$$

À retenir. Une seule famille de fonctions relie le minimum, la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, la moyenne arithmétique et le maximum. La moyenne géométrique n'est pas de la forme $M(t)$ : elle n'apparaît qu'à la limite, et c'est le développement limité qui la fait surgir. La question 2 est une version locale de l'inégalité arithmético-géométrique du chapitre 9 ; on peut d'ailleurs montrer, à l'aide de l'inégalité de Jensen du même chapitre, que $M$ est croissante sur $\mathbb{R}$.