Exercice 51

1. Comme $bx^{2}$ tend vers $0$, le développement $\frac{1}{1 + y} = 1 - y + y^{2} - y^{3} + o(y^{3})$, composé avec $y = bx^{2}$, donne $\frac{1}{1 + bx^{2}} = 1 - bx^{2} + b^{2}x^{4} + o(x^{5})$, le terme en $x^{6}$ étant absorbé par le reste. Ainsi $$\frac{x + ax^{3}}{1 + bx^{2}} = (x + ax^{3})\big(1 - bx^{2} + b^{2}x^{4} + o(x^{5})\big) = x + (a - b)x^{3} + (b^{2} - ab)x^{5} + o(x^{6}),$$ le terme $ab^{2}x^{7}$ étant absorbé par le reste. Avec $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + o(x^{6})$ (théorème 5), $$\boxed{f_{a,b}(x) = \Big(b - a - \frac{1}{6}\Big)x^{3} + \Big(\frac{1}{120} + ab - b^{2}\Big)x^{5} + o(x^{6})}$$ L'absence de termes de degré pair était prévisible : $f_{a,b}$ est impaire (proposition 9).

2. Par unicité du développement limité (proposition 8), $f_{a,b}(x) = o(x^{6})$ si et seulement si les deux coefficients sont nuls, c'est-à-dire si $b - a = \frac{1}{6}$ et $b(b - a) = \frac{1}{120}$. La première égalité, reportée dans la seconde, donne $\frac{b}{6} = \frac{1}{120}$, d'où un unique couple : $$\boxed{a_{0} = -\frac{7}{60}, \qquad b_{0} = \frac{1}{20}}$$ Pour l'équivalent, on pousse le calcul d'un ordre. Le développement $$\frac{1}{1 + b_{0}x^{2}} = 1 - b_{0}x^{2} + b_{0}^{2}x^{4} - b_{0}^{3}x^{6} + o(x^{7})$$ ajoute au quotient le terme $(a_{0}b_{0}^{2} - b_{0}^{3})x^{7} = b_{0}^{2}(a_{0} - b_{0})x^{7} = -\frac{x^{7}}{2400}$, et le sinus contribue $-\frac{x^{7}}{5040}$. Comme $-\frac{1}{5040} + \frac{1}{2400} = \frac{-10 + 21}{50\,400}$, la proposition 13 donne $$\boxed{f_{a_{0},b_{0}}(x) \underset{x \to 0}{\sim} \frac{11}{50\,400}\,x^{7}}$$

3. Soit $(a, b) \neq (a_{0}, b_{0})$. Par la question 2, l'un des coefficients de $x^{3}$ ou de $x^{5}$ dans le développement de $f_{a,b}$ est non nul, et la proposition 13 donne $f_{a,b}(x) \sim c\,x^{p}$, avec $c \neq 0$ et $p \in \{3, 5\}$. Comme $x^{7} = o(x^{p})$, on obtient $f_{a_{0},b_{0}} = o(f_{a,b})$. Aucune autre fonction ne convient : si $f_{a,b}$, avec $(a, b) \neq (a_{0}, b_{0})$, était négligeable devant $f_{a_{0},b_{0}}$, elle serait négligeable devant elle-même par transitivité, donc nulle au voisinage de $0$, ce que contredit $f_{a,b}(x) \sim c\,x^{p}$. $$\boxed{\text{oui : } f_{a_{0},b_{0}} \text{ est la seule, avec } \frac{x + a_{0}x^{3}}{1 + b_{0}x^{2}} = \frac{x(60 - 7x^{2})}{3(20 + x^{2})}}$$

4. Le développement du sinus à l'ordre $8$ donne $\sin x - T(x) \sim -\frac{x^{7}}{5040}$, et la question 2 donne $\sin x - R(x) \sim \frac{11x^{7}}{50\,400}$. Par la proposition 13, ces deux différences ont respectivement le signe de $-x^{7}$ et de $x^{7}$ au voisinage de $0$ : $$\boxed{R(x) < \sin x < T(x) \quad\text{pour tout } x > 0 \text{ assez petit}}$$ Au voisinage de $+\infty$, une fonction rationnelle est équivalente au quotient de ses termes de plus haut degré : $R(x) \sim \frac{-7x^{3}/60}{x^{2}/20}$ et $T(x) \sim \frac{x^{5}}{120}$, soit $$\boxed{R(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} -\frac{7x}{3}, \qquad T(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{x^{5}}{120}}$$ Aucune des deux ne reste bornée comme le sinus, mais $R$ s'en écarte bien plus lentement. Numériquement, $R(1) = \frac{53}{63} \approx 0{,}841\,270$ et $T(1) = \frac{101}{120} \approx 0{,}841\,667$ encadrent $\sin 1 \approx 0{,}841\,471$ avec des écarts presque égaux, mais $R(\pi) \approx -0{,}319$ est plus proche de $\sin\pi = 0$ que $T(\pi) \approx 0{,}524$.

Piège. Être négligeable devant toutes les autres est une propriété locale, qui ne dit pas que $R$ est la meilleure approximation. Près de $0$, c'est même $T$ qui l'emporte de peu, puisque $\frac{1}{5040} \approx 1{,}98 \cdot 10^{-4}$ est inférieur à $\frac{11}{50\,400} \approx 2{,}18 \cdot 10^{-4}$ ; l'avantage de $R$ n'apparaît que loin de $0$. Ces fractions rationnelles, qui coïncident avec une fonction à un ordre aussi élevé que possible, ont été étudiées systématiquement par Henri Padé dans sa thèse de 1892, et portent son nom ; les approximations rationnelles de ce type servent au calcul numérique des fonctions usuelles.