Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 10

Analyse asymptotique et développements limités

56 exercices corrigés · 9   31   15   1

Relations de comparaison

• Exercice 1 Équivalents ou pas ? Les relations suivantes sont-elles vraies, quand n tend vers +∞ ? (a) n ∼ n + 1 (b) n^2 ∼ n^2 + n (c) ln n ∼ ln (10^6n) (d) e^n…
• Exercice 2 Soit (u_n) et (v_n) deux suites réelles. Écrire les relations suivantes sous une forme plus simple, toutes étant prises quand n tend vers +∞. (a)…
• Exercice 3 Déterminer un équivalent simple des suites de termes généraux suivants. (a) 1/(n - 1) - 1/(n + 1) (b) √(n + 1) - √(n - 1) (c) (n^3 - √(1 + n^2))/(ln…
• Exercice 4 Déterminer un équivalent simple des fonctions suivantes, au voisinage du point indiqué. (a) x + 1 + ln x, en 0^(+) et en +∞ (b) 1 - x^2, en 1 (c) ln…
• Exercice 5 Calculer les limites suivantes à l'aide d'équivalents. (a) lim _(x → 0) ((1 - cos x)(1 + 2x))/(x^2 - x^4) (b) lim _(x → 0) (ln (1 + sin x))/(tan…
• Exercice 6 Classer par ordre de négligeabilité les suites de termes généraux 1/n, 1/(n^2), (ln n)/n, 1/(nln n), (e^n)/(n^3), n, 1, √(n e^n), nln n, (n^2)/(ln n).
• Exercice 7 Une somme de factorielles. Montrer que Σ_(k=0)^n k! ∼ n!. On pourra majorer Σ_(k=0)^(n-2) k! par (n - 1) · (n - 2)!.
• Exercice 8 Équivalents, exponentielle et logarithme. Soit f et g deux fonctions réelles définies au voisinage de a ∈ overline ℝ. 1. Montrer que e^f ∼ e^g au…
• Exercice 9 On pose, pour n ≥ 1, S_n = Σ_(k=1)^n 1/(√k). 1. Montrer que, pour tout n ≥ 1, 1/(√(n + 1)) ≤ 2 (√(n + 1) - √n) ≤ 1/(√n). 2. En déduire un…
• Exercice 10 Entre deux. 1. Soit (u_n) et (v_n) deux suites strictement positives telles que u_n = o(v_n). Construire une suite (w_n) telle que u_n = o(w_n) et…
• Exercice 11 Sommes de suites équivalentes. Soit (u_n)_(n ≥ 1) et (v_n)_(n ≥ 1) deux suites strictement positives telles que u_n ∼ v_n. On pose U_n = Σ_(k=1)^n…
• Exercice 12 Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite décroissante telle que u_n + u_(n+1) ∼ 1/n. Montrer que u_n ∼ 1/2n. On encadrera 2u_n à l'aide de u_(n-1) + u_n et de…

Développements limités

• Exercice 13 Sommes et produits. Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre indiqué. (a) 1/(1 - x) - e^x, à l'ordre 3 (b) √(1 - x) + √(1 + x), à l'ordre 4…
• Exercice 14 Quotients. Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre indiqué. (a) 1/(1 + x + x^2), à l'ordre 4 (b) (sin x - 1)/(cos x + 1), à l'ordre 2 (c)…
• Exercice 15 Compositions. Déterminer le développement limité en 0 à l'ordre indiqué. (a) ln ((sin x)/x), à l'ordre 4 (b) (cos x)^(sin x), à l'ordre 5 (c) (1 +…
• Exercice 16 En un point autre que 0. Déterminer le développement limité à l'ordre 3 de x ↦ 1/x en 2, de ln en 2, de exp en 1, de cos en π/3, et de x ↦ √x en 2.
• Exercice 17 Par primitivation. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 5 en 0 de Arccos, puis de x ↦ ln (x + √(1 + x^2)). 2. Soit f: x ↦ Arctan (1 +…
• Exercice 18 Au voisinage de l'infini. Déterminer, en posant t = 1/x: 1. un développement de (√(x + 2))/(√x) en +∞ à la précision o (1/(x^3)); 2. un…
• Exercice 19 Avec la formule de Taylor-Young. Soit f: ℝ → ℝ de classe C^2, et a ∈ ℝ. Déterminer lim _(h → 0) (f(a + h) - 2f(a) + f(a - h))/(h^2) et lim _(x → 0)…
• Exercice 20 Soit f et g deux fonctions impaires de classe C^3 au voisinage de 0, telles que g'''(0) ≠ 0. Déterminer lim _(x → 0) (f(x) - 2f(2x) + f(3x))/(g(x) -…
• Exercice 21 Dérivées successives en 0. On rappelle que, pour une fonction de classe C^∞, le coefficient de x^k dans le développement limité en 0 vaut…
• Exercice 22 Le développement de la tangente. 1. En partant de tan ' = 1 + tan ^2 et du développement tan x = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + o(x^6) du cours,…
• Exercice 23 Astucieux. Déterminer le développement limité à l'ordre 12 en 0 de x ↦ ln (Σ_(k=0)^11 (x^k)/(k!)). On pourra écrire la somme sous la forme e^x - R(x).
• Exercice 24 Développement d'une réciproque. 1. Montrer que f: x ↦ x e^x^2 réalise une bijection de ℝ sur ℝ, et que f^(-1) est de classe C^∞ et impaire. 2.…
• Exercice 25 Par une équation différentielle. Soit f: x ↦ (Arcsin x)/(√(1 - x^2)) sur ]-1,1[. 1. Montrer que f est solution de l'équation (1 - x^2)y' - xy = 1.…
• Exercice 26 Développements limités et régularité. 1. Une fonction paire telle que f(x) = 1 + x^2 + o(x^2) au voisinage de 0 vérifie-t-elle nécessairement f(x) =…

Applications à l'étude locale

• Exercice 27 Calculer les limites suivantes à l'aide de développements limités. (a) lim _(x → 0) (1 + ln (1 + x) - e^x)/(1 - cos x) (b) lim _(x → 0) (ln (1 + x)…
• Exercice 28 Déterminer un équivalent simple, au voisinage de 0, de sh(sin x) - sin (sh x), ln (1 + x) - x + (x^2)/2, et, pour x > 0, x^(sin x) - (sin x)^x.
• Exercice 29 Tangente et position. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 et la position de la courbe par…
• Exercice 30 Étudier au voisinage de 0 la fonction f: x ↦ 1/x - 1/(Arcsin x): est-elle prolongeable par continuité ? Le prolongement est-il dérivable ? Quelle…
• Exercice 31 Nature d'un point critique. Pour a ∈ ℝ, on pose f_a(x) = ln (1 + x) - x + ax^2 sur ]-1,+∞[. Montrer que 0 est un point critique de f_a, et…
• Exercice 32 Asymptotes. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l'asymptote de sa courbe en +∞ et la position de la courbe par rapport à cette…
• Exercice 33 Quatre courbes. On considère, au voisinage de 0^(+), les fonctions f: x ↦ 1/(1 + x), g: x ↦ e^(-x), h: x ↦ √(1 - 2sin x), k: x ↦ cos √2x. Montrer…
• Exercice 34 La somme des cubes. Soit n ≥ 1 et f: x ↦ (e^((n+1)x) - 1)/(e^x - 1), prolongée par f(0) = n + 1. 1. Écrire f(x) comme une somme de n + 1…
• Exercice 35 Compter avec un développement limité. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 10 en 0 de u: x ↦ 1/((1 - x)(1 - x^2)(1 - x^5)), en utilisant…
• Exercice 36 Pour n ≥ 1, on pose u_n = (1 + 1/n)^n. Déterminer un développement de ln (u_(n+1))/(u_n) à la précision o (1/(n^2)), et en déduire que la suite…
• Exercice 37 Des points entiers. 1. Déterminer un développement de √(x^4 + x^3 + 1) en +∞, à la précision o (1/x). 2. En déduire que l'ensemble E = (x, y) ∈ ℤ^2…

Suites et développements asymptotiques

• Exercice 38 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^(), l'équation x + ln x = n admet une unique solution u_n dans ]0,+∞[. 2. Montrer que u_n ∼ n, puis que u_n = n - ln…
• Exercice 39 Pour n ∈ ℕ^(), on pose f_n(x) = x^5 + nx - 1. 1. Montrer que f_n s'annule en un unique réel u_n, et que u_n ∈ ]0, 1/n [. 2. Montrer que u_n ∼ 1/n,…
• Exercice 40 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^(), l'équation x - ln x = n admet une unique solution x_n dans ]0,1]. 2. Montrer que lim _(n → +∞) x_n = 0, puis que…
• Exercice 41 Pour n ∈ ℕ, on pose P_n(x) = x^3 - (n + 2)x^2 + (2n + 1)x - 1. 1. Montrer que, pour n assez grand, P_n s'annule en trois réels a_n, b_n, c_n…
• Exercice 42 Soit u_0 > 0 et u_(n+1) = Arctan u_n. 1. Montrer que (u_n) est à valeurs strictement positives et converge vers 0. 2. Déterminer la limite de…
• Exercice 43 Soit u_0 > 0 et u_(n+1) = u_n + 1/(u_n). Montrer que lim _(n → +∞) u_n = +∞, puis déterminer un équivalent de u_n en étudiant u_(n+1)^2 - u_n^2.
• Exercice 44 Soit x_0 ∈ ℝ et x_(n+1) = x_n + e^-x_n. Montrer que lim _(n → +∞) x_n = +∞, puis que e^x_(n+1) - e^x_n tend vers 1, et en déduire que x_n = ln n +…
• Exercice 45 Soit u_0 ∈ ]0, 1/3 [ et u_(n+1) = u_n - 3u_n^2. 1. Montrer que (u_n) est à valeurs strictement positives et converge vers 0. 2. On pose w_n =…
• Exercice 46 Soit u_0 = 0 et u_(n+1) = √(u_n + n^2). 1. Montrer par récurrence que n - 1 ≤ u_n ≤ n pour n ≥ 1. 2. En déduire que u_(n+1) = n + 1/2 + o(1), puis…
• Exercice 47 On considère la suite (u_n)_(n ≥ 1) qui prend une fois la valeur 1, deux fois la valeur 2, trois fois la valeur 3, et ainsi de suite: 1, 2, 2, 3, 3,…
• Exercice 48 Montrer que Σ_(k=1)^n sin k/(n^2) = 1/2 + 1/2n + O (1/(n^2)). On utilisera l'inégalité |sin t - t| ≤ (|t|^3)/6, que l'on justifiera.

Exercices de synthèse

• Exercice 49 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Si f ∼ g au voisinage de a, alors lim _(x → a) (f(x) - g(x))…
• Exercice 50 Des moyennes vers la moyenne géométrique. Soit a, b, c trois réels strictement positifs, et G = √[3]abc leur moyenne géométrique. Pour tout réel t ≠…
• Exercice 51 Une approximation rationnelle du sinus. Pour tout couple (a, b) de réels, on considère la fonction f_a,b, définie au voisinage de 0 par f_a,b(x) =…
• Exercice 52 Soit f et g deux fonctions impaires de classe C^∞ sur ℝ, telles que f'(0) = g'(0) = 1. Montrer que f (g(x)) - g (f(x)) = o(x^6) au voisinage de 0.…
• Exercice 53 Une somme alternée. Soit n ∈ ℕ^() et, pour p ∈ ℕ, S_p = Σ_(k=0)^n (-1)^(n-k)binom n{k}k^p. 1. Montrer que (e^x - 1)^n = x^n + o(x^n) au voisinage de…
• Exercice 54 Soit f: x ↦ x sh 1/x sur ]0,+∞[. 1. Montrer que th u < u pour u > 0. En déduire que f est strictement décroissante, et déterminer ses limites en 0…
• Exercice 55 Le point de rebroussement de la cycloïde. Un cercle de rayon 1 roule sans glisser sur l'axe des abscisses. Lorsqu'il a tourné d'un angle t, un point…
• Exercice 56 Une suite récurrente lente. Soit u_0 > 0 et u_(n+1) = th u_n. 1. Montrer que (u_n) est strictement positive, décroissante, et converge vers 0. 2.…