Exercice 25

1. Pour $|x| < 1$, la dérivée d'un quotient donne $$f'(x) = \frac{1}{1 - x^{2}} + \frac{x\operatorname{Arcsin} x}{(1 - x^{2})^{3/2}}, \qquad\text{donc}\qquad (1 - x^{2})f'(x) = 1 + x\,f(x).$$

2. La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-1\,,1[$ : la formule de Taylor-Young lui donne un développement limité à tout ordre. Elle est impaire, comme quotient d'une fonction impaire par une fonction paire, donc ses coefficients d'indice pair sont nuls. $\boxed{f(x) = \sum a_{2k+1}x^{2k+1} + o(x^{2n+2})}$

3. La fonction $f'$ est aussi de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, et la formule de Taylor-Young montre que son développement s'obtient en dérivant terme à terme celui de $f$, puisque $(f')^{(k)}(0) = f^{(k+1)}(0)$. En reportant dans l'équation, le coefficient de $x^{2k}$ donne $$(2k + 1)a_{2k+1} - (2k - 1)a_{2k-1} - a_{2k-1} = 0 \quad (k \geqslant 1), \qquad a_{1} = 1,$$ soit $a_{2k+1} = \frac{2k}{2k + 1}a_{2k-1}$. Ainsi $a_{3} = \frac{2}{3}$, $a_{5} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$ et $a_{7} = \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{35}$. $$\boxed{\frac{\operatorname{Arcsin} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = x + \frac{2x^{3}}{3} + \frac{8x^{5}}{15} + \frac{16x^{7}}{35} + o(x^{8})}$$ Le calcul par produit des développements de $\operatorname{Arcsin}$ et de $(1 - x^{2})^{-1/2}$ donnerait le même résultat, au prix de beaucoup plus de termes.