Exercice 24

1. La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, avec $f'(x) = (1 + 2x^{2})\mathrm{e}^{x^{2}} > 0$ ; elle est strictement croissante, de limites $\pm\infty$ en $\pm\infty$, et réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Comme $f'$ ne s'annule pas, $f^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ (chapitre 9, proposition 4). Enfin $f$ est impaire, donc $f^{-1}$ aussi : si $y = f(x)$, alors $-y = f(-x)$. $\boxed{f^{-1} \text{ est } \mathcal{C}^{\infty} \text{ et impaire}}$

2. Par la formule de Taylor-Young et la proposition 9, $f^{-1}(y) = ay + by^{3} + cy^{5} + o(y^{5})$. Comme $f(x) = x + x^{3} + \frac{x^{5}}{2} + o(x^{5})$ tend vers $0$, on peut composer : $$x = f^{-1}\big(f(x)\big) = ax + (a + b)x^{3} + \Big(\frac{a}{2} + 3b + c\Big)x^{5} + o(x^{5}),$$ où l'on a utilisé $f(x)^{3} = x^{3} + 3x^{5} + o(x^{5})$. Par unicité, $a = 1$, $a + b = 0$ et $\frac{a}{2} + 3b + c = 0$. $$\boxed{f^{-1}(y) = y - y^{3} + \frac{5}{2}y^{5} + o(y^{5})}$$

3. La fonction $g : x \mapsto 2x + \sin x$ a pour dérivée $2 + \cos x \geqslant 1$ : c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, de réciproque $\mathcal{C}^{\infty}$ et impaire, de la forme $ay + by^{3} + o(y^{3})$. Avec $g(x) = 3x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})$, l'égalité $g^{-1}(g(x)) = x$ donne $3a = 1$ et $-\frac{a}{6} + 27b = 0$. $$\boxed{g^{-1}(y) = \frac{y}{3} + \frac{y^{3}}{486} + o(y^{3})}$$