Exercice 23

On pose $R(x) = \mathrm{e}^{x} - \sum_{k=0}^{11} \frac{x^{k}}{k!}$. Par le développement de $\exp$ à l'ordre $12$, $R(x) = \frac{x^{12}}{12!} + o(x^{12})$. Alors $$\ln\Big(\sum_{k=0}^{11} \frac{x^{k}}{k!}\Big) = \ln\big(\mathrm{e}^{x} - R(x)\big) = x + \ln\big(1 - \mathrm{e}^{-x}R(x)\big),$$ et $\mathrm{e}^{-x}R(x) = \frac{x^{12}}{12!} + o(x^{12})$ tend vers $0$, donc $\ln\big(1 - \mathrm{e}^{-x}R(x)\big) = -\frac{x^{12}}{12!} + o(x^{12})$. $$\boxed{\ln\Big(\sum_{k=0}^{11} \frac{x^{k}}{k!}\Big) = x - \frac{x^{12}}{12!} + o(x^{12})}$$ Un calcul direct, en composant $\ln(1 + u)$ avec un polynôme de degré $11$, serait interminable : tous les termes intermédiaires se compensent.