Exercice 22

1. On part de $\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} + o(x^{6})$, et l'on élève au carré à l'ordre $6$ : $$\tan^{2}x = x^{2} + \frac{2x^{4}}{3} + \Big(\frac{1}{9} + \frac{4}{15}\Big)x^{6} + o(x^{6}) = x^{2} + \frac{2x^{4}}{3} + \frac{17x^{6}}{45} + o(x^{6}).$$ Comme $\tan^{2}$ est paire, le reste est même un $o(x^{7})$. Ainsi $\tan' x = 1 + x^{2} + \frac{2x^{4}}{3} + \frac{17x^{6}}{45} + o(x^{7})$, et la primitivation, avec $\tan 0 = 0$, donne $$\boxed{\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2x^{5}}{15} + \frac{17x^{7}}{315} + o(x^{8})}$$

2. On répète le procédé : on part de $a = (0, 1, 0, \dots)$, on calcule les coefficients de $1 + \tan^{2}$ jusqu'au degré $n - 1$, puis on primitive. Chaque passage fixe au moins un coefficient de plus, donc $n$ passages suffisent :

from fractions import Fraction

def dl_tan(n):
    a = [Fraction(0)] * (n + 1)     # a[k] : coefficient de x^k
    if n >= 1:
        a[1] = Fraction(1)          # tan x = x + o(x)
    for _ in range(n):              # chaque passage gagne un ordre
        # carre tronque, puis 1 + tan^2, puis primitive nulle en 0
        carre = [sum(a[i] * a[k - i] for i in range(k + 1))
                 for k in range(n)]
        derivee = [Fraction(int(k == 0)) + carre[k] for k in range(n)]
        a = [Fraction(0)] + [derivee[k] / (k + 1) for k in range(n)]
    return a

L'appel dl_tan(9) renvoie les coefficients $0, 1, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{2}{15}, 0, \frac{17}{315}, 0, \frac{62}{2835}$, conformes à la question 1.