Exercice 21

1. Pour $m \in \mathbb{N}$, $\frac{1}{1 + y} = \sum_{k=0}^{m} (-1)^{k}y^{k} + o(y^{m})$, et la substitution $y = x^{6}$ donne $$\frac{x^{4}}{1 + x^{6}} = \sum_{k=0}^{m} (-1)^{k}x^{6k+4} + o(x^{6m+4}).$$ La fonction est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, et l'unicité du développement identifie les coefficients aux $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ : $$\boxed{f^{(n)}(0) = (-1)^{k}\,n! \text{ si } n = 6k + 4, \qquad f^{(n)}(0) = 0 \text{ sinon}}$$ Ainsi $f^{(4)}(0) = 24$, $f^{(10)}(0) = -10!$, et les autres dérivées d'ordre au plus $9$ sont nulles en $0$ : aucun calcul de dérivée n'a été nécessaire.

2. On a $\sin x = x\big(1 + O(x^{2})\big)$, donc $\sin^{p}x = x^{p}\big(1 + O(x^{2})\big)^{p} = x^{p} + o(x^{p})$. Par identification, $$\boxed{g^{(k)}(0) = 0 \text{ pour } 0 \leqslant k < p, \qquad g^{(p)}(0) = p!}$$