Exercice 20

Par la formule de Taylor-Young et l'imparité (proposition 9), $f(x) = ax + bx^{3} + o(x^{3})$ avec $a = f'(0)$ et $b = \frac{f'''(0)}{6}$. Par substitution, $$f(x) - 2f(2x) + f(3x) = a(1 - 4 + 3)x + b(1 - 16 + 27)x^{3} + o(x^{3}) = 12bx^{3} + o(x^{3}).$$ De même, le dénominateur vaut $12b'x^{3} + o(x^{3})$ avec $b' = \frac{g'''(0)}{6} \neq 0$ : il est équivalent à $12b'x^{3}$, et $$\boxed{\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - 2f(2x) + f(3x)}{g(x) - 2g(2x) + g(3x)} = \frac{f'''(0)}{g'''(0)}}$$ Les coefficients $1$, $-2$, $1$ ont été choisis pour annuler le terme en $x$ : c'est le même mécanisme que dans l'exercice 19.