Exercice 19

La formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $a$ (théorème 4) donne $$f(a \pm h) = f(a) \pm f'(a)h + \frac{f''(a)}{2}h^{2} + o(h^{2}).$$ En ajoutant, $$f(a + h) - 2f(a) + f(a - h) = f''(a)h^{2} + o(h^{2}), \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - 2f(a) + f(a - h)}{h^{2}} = f''(a)}$$ Pour la seconde limite, on applique la formule à $f$ à l'ordre $2$, et à $f'$, de classe $\mathcal{C}^{1}$, à l'ordre $1$ : $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) + \frac{f''(0)}{2}x + o(x), \qquad f'(x) = f'(0) + f''(0)x + o(x).$$

$$\boxed{\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\Big(f'(x) - \frac{f(x) - f(0)}{x}\Big) = \frac{f''(0)}{2}}$$ Le premier quotient est la version symétrique de la dérivée seconde, utilisée en analyse numérique pour l'approcher.