Exercice 18

Dans les trois cas, $t = \frac{1}{x}$ tend vers $0^{+}$.

1. $\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x}} = \sqrt{1 + 2t} = 1 + t - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{2} + o(t^{3})$, d'où $$\boxed{\frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x}} \underset{x \to +\infty}{=} 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{2x^{3}} + o\Big(\frac{1}{x^{3}}\Big)}$$

2. Pour $x > 0$, $\ln\Big(x + \sqrt{1 + x^{2}}\Big) - \ln x = \ln\Big(1 + \sqrt{1 + t^{2}}\Big)$. Or $1 + \sqrt{1 + t^{2}} = 2\Big(1 + \frac{t^{2}}{4} - \frac{t^{4}}{16} + o(t^{4})\Big)$, et $\ln(1 + v) = v - \frac{v^{2}}{2} + o(v^{2})$ avec $v = O(t^{2})$ : $$\boxed{\ln\Big(x + \sqrt{1 + x^{2}}\Big) - \ln x \underset{x \to +\infty}{=} \ln 2 + \frac{1}{4x^{2}} - \frac{3}{32x^{4}} + o\Big(\frac{1}{x^{4}}\Big)}$$

3. Pour $x > 0$, $\operatorname{Arctan} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Arctan} t$ (chapitre 5), et le développement de $\operatorname{Arctan}$ en $0$ donne $$\boxed{\operatorname{Arctan} x \underset{x \to +\infty}{=} \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2k + 1)x^{2k+1}} + o\Big(\frac{1}{x^{2n+1}}\Big)}$$ avec même un reste en $o\Big(\frac{1}{x^{2n+2}}\Big)$. Les premiers termes sont $\frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^{3}}$.