Exercice 17

1. On primitive à l'ordre $4$ les dérivées, obtenues à partir de $(1 + y)^{-1/2} = 1 - \frac{y}{2} + \frac{3y^{2}}{8} + o(y^{2})$ : $$\operatorname{Arccos}'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = -1 - \frac{x^{2}}{2} - \frac{3x^{4}}{8} + o(x^{4}),$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\ln\Big(x + \sqrt{1 + x^{2}}\Big) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{3x^{4}}{8} + o(x^{4}).$$ Avec les constantes $\operatorname{Arccos} 0 = \frac{\pi}{2}$ et $\ln 1 = 0$, le théorème 3 donne $$\boxed{\operatorname{Arccos} x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^{3}}{6} - \frac{3x^{5}}{40} + o(x^{5}), \qquad \ln\Big(x + \sqrt{1 + x^{2}}\Big) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40} + o(x^{5})}$$ La dérivée de $\ln\Big(x + \sqrt{1 + x^{2}}\Big)$ se calcule par composition : $\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$. Cette fonction est la réciproque de $\operatorname{sh}$.

2. La dérivée de $u : x \mapsto \frac{1 + x}{1 - x}$ est $\frac{2}{(1 - x)^{2}}$, et $1 + u^{2} = \frac{2(1 + x^{2})}{(1 - x)^{2}}$, d'où $$f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + u(x)^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} + o(x^{4}).$$ Avec $f(0) = \operatorname{Arctan} 1 = \frac{\pi}{4}$, on obtient $\boxed{f(x) = \frac{\pi}{4} + x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} + o(x^{5})}$. On reconnaît le développement de $\frac{\pi}{4} + \operatorname{Arctan} x$ : en effet, $f$ et $x \mapsto \frac{\pi}{4} + \operatorname{Arctan} x$ ont même dérivée sur l'intervalle $]-\infty\,,1[$ et même valeur en $0$. $$\boxed{f(x) = \frac{\pi}{4} + \operatorname{Arctan} x \text{ sur } ]-\infty\,,1[}$$