Exercice 16

On pose $x = a + h$ et l'on développe en $h$, en se ramenant aux développements usuels : $$\frac{1}{2 + h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + h/2}, \qquad \ln(2 + h) = \ln 2 + \ln\Big(1 + \frac{h}{2}\Big), \qquad \mathrm{e}^{1 + h} = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^{h},$$

$$\boxed{\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{h}{4} + \frac{h^{2}}{8} - \frac{h^{3}}{16} + o(h^{3}), \qquad \ln x = \ln 2 + \frac{h}{2} - \frac{h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{24} + o(h^{3}), \\[2mm] \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}\Big(1 + h + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h^{3}}{6}\Big) + o(h^{3}), \qquad \cos x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}h - \frac{h^{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}h^{3} + o(h^{3}), \\[2mm] \sqrt{x} = \sqrt{2}\Big(1 + \frac{h}{4} - \frac{h^{2}}{32} + \frac{h^{3}}{128}\Big) + o(h^{3}) \end{array}}$$ avec chaque fois $h = x - a$, où $a$ est le point considéré.