Exercice 15

(a) On a $\frac{\sin x}{x} = 1 + u$ avec $u = -\frac{x^{2}}{6} + \frac{x^{4}}{120} + o(x^{4}) = O(x^{2})$, donc $\ln(1 + u) = u - \frac{u^{2}}{2} + o(x^{4})$, avec $u^{2} = \frac{x^{4}}{36} + o(x^{4})$ : $$\boxed{\ln\Big(\frac{\sin x}{x}\Big) = -\frac{x^{2}}{6} - \frac{x^{4}}{180} + o(x^{4})}$$

(b) On écrit $(\cos x)^{\sin x} = \exp(v)$ avec $v = \sin x\,\ln(\cos x)$. Avec $\ln(\cos x) = -\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4})$ (cours) et $\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$, $$v = -\frac{x^{3}}{2} + \Big(\frac{1}{12} - \frac{1}{12}\Big)x^{5} + o(x^{5}) = -\frac{x^{3}}{2} + o(x^{5}).$$ Comme $v^{2} = O(x^{6})$, $\exp(v) = 1 + v + o(x^{5})$ : $$\boxed{(\cos x)^{\sin x} = 1 - \frac{x^{3}}{2} + o(x^{5})}$$

(c) On écrit $(1 + x)^{1/x} = \exp\Big(\frac{\ln(1 + x)}{x}\Big) = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^{w}$, avec $$w = -\frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{3}}{4} + o(x^{3}).$$ Alors $w^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$ et $w^{3} = -\frac{x^{3}}{8} + o(x^{3})$, d'où $$\boxed{(1 + x)^{1/x} = \mathrm{e}\Big(1 - \frac{x}{2} + \frac{11x^{2}}{24} - \frac{7x^{3}}{16}\Big) + o(x^{3})}$$ On retrouve la limite $\mathrm{e}$ du chapitre 8, atteinte par valeurs inférieures quand $x \to 0^{+}$.

(d) On a $1 + \sqrt{1 + x} = 2(1 + u)$ avec $u = \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{16} + \frac{x^{3}}{32} + o(x^{3})$, puis $\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + \frac{u^{3}}{16} + o(u^{3})$, avec $u^{2} = \frac{x^{2}}{16} - \frac{x^{3}}{32} + o(x^{3})$ et $u^{3} = \frac{x^{3}}{64} + o(x^{3})$ : $$\boxed{\sqrt{1 + \sqrt{1 + x}} = \sqrt{2}\Big(1 + \frac{x}{8} - \frac{5x^{2}}{128} + \frac{21x^{3}}{1024}\Big) + o(x^{3})}$$

(e) On a $\ln(\operatorname{ch} x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{12} + o(x^{4})$, d'où $\frac{\ln(\operatorname{ch} x)}{x} = \frac{x}{2} - \frac{x^{3}}{12} + o(x^{3})$. Le facteur $x$ impose de connaître l'exponentielle à l'ordre $3$ : $$(\operatorname{ch} x)^{1/x} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{8} - \frac{x^{3}}{16} + o(x^{3}), \qquad \boxed{x(\operatorname{ch} x)^{1/x} = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{8} - \frac{x^{4}}{16} + o(x^{4})}$$

(f) On écrit $\mathrm{e}^{\cos x} = \mathrm{e} \cdot \mathrm{e}^{u}$ avec $u = \cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{4})$ : $$\boxed{\mathrm{e}^{\cos x} = \mathrm{e}\Big(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{6}\Big) + o(x^{4})}$$ Piège. L'erreur la plus répandue est de composer directement $\exp$ avec $\cos x$, qui ne tend pas vers $0$ : la proposition 11 exige que la fonction intérieure tende vers $0$. On se ramène toujours à ce cas en mettant en facteur la limite, ici $\mathrm{e}^{1}$.