Exercice 14

(a) On remarque que $\frac{1}{1 + x + x^{2}} = \frac{1 - x}{1 - x^{3}} = (1 - x)(1 + x^{3} + o(x^{4}))$ : $$\boxed{\frac{1}{1 + x + x^{2}} = 1 - x + x^{3} - x^{4} + o(x^{4})}$$ La méthode générale, en composant $\frac{1}{1 + u}$ avec $u = x + x^{2}$, donne le même résultat, plus péniblement.

(b) On a $\cos x + 1 = 2\Big(1 - \frac{x^{2}}{4} + o(x^{2})\Big)$, donc $$\frac{1}{\cos x + 1} = \frac{1}{2}\Big(1 + \frac{x^{2}}{4} + o(x^{2})\Big),$$ et $\sin x - 1 = -1 + x + o(x^{2})$ : $$\boxed{\frac{\sin x - 1}{\cos x + 1} = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + o(x^{2})}$$

(c) Le numérateur et le dénominateur commencent tous deux par $x$, que l'on simplifie : il faut donc les connaître à l'ordre $4$. On écrit $$\frac{\ln(1 + x)}{\sin x} = \frac{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{3}}{4} + o(x^{3})}{1 - \frac{x^{2}}{6} + o(x^{3})} = \Big(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \frac{x^{3}}{4}\Big)\Big(1 + \frac{x^{2}}{6}\Big) + o(x^{3}),$$

(d) Le facteur $x$ permet de s'arrêter à l'ordre $3$ pour $\mathrm{e}^{-x}$ et pour $\frac{1}{1 + 2x} = 1 - 2x + 4x^{2} - 8x^{3} + o(x^{3})$ : $$\boxed{\frac{x\,\mathrm{e}^{-x}}{2x + 1} = x - 3x^{2} + \frac{13x^{3}}{2} - \frac{79x^{4}}{6} + o(x^{4})}$$