Exercice 26

1. Non. La fonction $f : x \mapsto 1 + x^{2} + |x|^{5/2}$ est paire et vérifie $f(x) = 1 + x^{2} + o(x^{2})$, puisque $\frac{|x|^{5/2}}{x^{2}} = |x|^{1/2} \to 0$ ; mais $\frac{|x|^{5/2}}{|x|^{3}} = |x|^{-1/2}$ tend vers $+\infty$, donc $f(x) - 1 - x^{2}$ n'est pas un $o(x^{3})$. $\boxed{\text{La réponse est non.}}$ La proposition 9 ne s'applique qu'à une fonction qui admet un développement à l'ordre $3$ ; la parité ne crée pas ce développement.

2. Pour $x \neq 0$, $|f(x)| \leqslant \mathrm{e}^{-1/x^{2}}$, et $\frac{\mathrm{e}^{-1/x^{2}}}{|x|^{n}} = \frac{u^{n/2}}{\mathrm{e}^{u}}$ avec $u = \frac{1}{x^{2}}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées : $\boxed{f(x) = o(x^{n}) \text{ pour tout } n}$. En particulier $\frac{f(x)}{x}$ tend vers $0$, et $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = 0$ ; elle l'est aussi sur $\mathbb{R}^{*}$, avec $$f'(x) = \frac{2}{x^{3}}\,\mathrm{e}^{-1/x^{2}}\cos\big(\mathrm{e}^{1/x^{2}}\big) + \frac{2}{x^{3}}\sin\big(\mathrm{e}^{1/x^{2}}\big).$$ Le premier terme tend vers $0$. Le second n'a pas de limite : aux points $x_{k} = (\ln(\frac{\pi}{2} + 2k\pi))^{-1/2}$, qui tendent vers $0$, il vaut $\frac{2}{x_{k}^{3}} \to +\infty$. $\boxed{f \text{ est dérivable sur } \mathbb{R} \text{ mais pas de classe } \mathcal{C}^{1}}$

À retenir. Une fonction peut avoir un développement limité nul à tout ordre sans être deux fois dérivable : les développements limités ne contrôlent que la taille de $f$, pas ses oscillations. C'est l'inverse de la fonction plate du chapitre 9, qui est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$.