Exercice 27

Dans chaque cas, on développe numérateur et dénominateur jusqu'à leur premier terme non nul, et la proposition 13 fournit des équivalents.

(a) $1 + \ln(1 + x) - \mathrm{e}^{x} = 1 + \Big(x - \frac{x^{2}}{2}\Big) - \Big(1 + x + \frac{x^{2}}{2}\Big) + o(x^{2}) = -x^{2} + o(x^{2})$, et $1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ : la limite vaut $\boxed{-2}$.

(b) $\ln(1 + x) - \sin x = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$ : $\boxed{-\frac{1}{2}}$.

(c) $\ln\frac{1 + x}{1 - x} = \ln(1 + x) - \ln(1 - x) = 2x + \frac{2x^{3}}{3} + o(x^{3}) \sim 2x$ : $\boxed{1}$.

(d) $x - \operatorname{Arctan} x = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$ et $\sin^{3}x \sim x^{3}$ : $\boxed{\frac{1}{3}}$.

(e) On pose $x = 1 + h$ : $2x^{2} - 1 = 1 + 4h + 2h^{2}$, donc $\ln(2x^{2} - 1) \sim 4h$, et $\tan h \sim h$ : $\boxed{4}$.

(f) Les deux polynômes s'annulent en $1$ ; on factorise : $x^{3} + 7x^{2} - 8 = (x - 1)(x^{2} + 8x + 8)$ et $x^{4} + x^{3} - 2 = (x - 1)(x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2)$. Le quotient tend vers $\frac{17}{7}$ : $\boxed{\frac{17}{7}}$. C'est un développement à l'ordre $1$ en $1$ de chacun des polynômes, de dérivées $17$ et $7$.