Exercice 28

Première fonction. En composant les développements de $\operatorname{sh}$ et de $\sin$ à l'ordre $7$, on obtient $$\operatorname{sh}(\sin x) = x - \frac{x^{5}}{15} + \frac{x^{7}}{90} + o(x^{8}), \qquad \sin(\operatorname{sh} x) = x - \frac{x^{5}}{15} - \frac{x^{7}}{90} + o(x^{8}).$$ Les termes se compensent jusqu'à l'ordre $5$, et $$\boxed{\operatorname{sh}(\sin x) - \sin(\operatorname{sh} x) \sim \frac{x^{7}}{45}}$$ Il faut donc pousser les deux développements jusqu'à l'ordre $7$ avant de voir apparaître quoi que ce soit.

Deuxième fonction. $\ln(1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$, d'où $\boxed{\ln(1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2} \sim \frac{x^{3}}{3}}$.

Troisième fonction. On pose $A = \sin x\,\ln x$ et $B = x\ln(\sin x)$, qui tendent vers $0$ quand $x \to 0^{+}$. Alors $x^{\sin x} - (\sin x)^{x} = \mathrm{e}^{A} - \mathrm{e}^{B} = \mathrm{e}^{B}\big(\mathrm{e}^{A - B} - 1\big) \sim A - B$. Or $$A - B = (\sin x - x)\ln x - x\ln\frac{\sin x}{x} = -\frac{x^{3}}{6}\ln x\,\big(1 + o(1)\big) + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}),$$ et $x^{3} = o(x^{3}\ln x)$. $$\boxed{x^{\sin x} - (\sin x)^{x} \underset{x \to 0^{+}}{\sim} -\frac{x^{3}\ln x}{6}}$$ L'équivalent est positif pour $0 < x < 1$ : la fonction $x^{\sin x}$ est au-dessus de $(\sin x)^{x}$ près de $0$.