Exercice 8

1. Les fonctions $\mathrm{e}^{f}$ et $\mathrm{e}^{g}$ ne s'annulent pas, donc $\mathrm{e}^{f} \sim \mathrm{e}^{g}$ si et seulement si $\frac{\mathrm{e}^{f}}{\mathrm{e}^{g}} = \mathrm{e}^{f - g}$ tend vers $1$. Par continuité de $\exp$ et de $\ln$ en $0$ et en $1$, cela équivaut à $f - g \to 0$. $$\boxed{\mathrm{e}^{f} \sim \mathrm{e}^{g} \iff \lim\limits_{x \to a} (f - g) = 0}$$

2. Non : en $+\infty$, $x + 1 \sim x$, mais la différence $(x + 1) - x = 1$ ne tend pas vers $0$, donc, par la question 1, $\mathrm{e}^{x+1}$ n'est pas équivalent à $\mathrm{e}^{x}$. $\boxed{\text{La réponse est non.}}$

3. On écrit $f = (1 + \varepsilon)g$, d'où $\ln f = \ln g + \ln(1 + \varepsilon)$, avec $\ln(1 + \varepsilon) \to 0$. Si $\ell \in [0\,,+\infty]$ et $\ell \neq 1$, alors $\ln g$ tend vers $\ln\ell \neq 0$ ou vers $\pm\infty$ ; dans les deux cas, $\frac{\ln(1 + \varepsilon)}{\ln g}$ tend vers $0$, et $$\frac{\ln f}{\ln g} = 1 + \frac{\ln(1 + \varepsilon)}{\ln g} \longrightarrow 1, \qquad\text{soit}\qquad \boxed{\ln f \sim \ln g \text{ si } \ell \neq 1}$$ Si $\ell = 1$, le résultat est faux : en $0$, $1 + x \sim 1 + 2x$, mais $\ln(1 + x) \sim x$ et $\ln(1 + 2x) \sim 2x$ ne sont pas équivalents. Le logarithme transforme un écart relatif petit en un écart absolu petit, qui n'est négligeable que si le logarithme lui-même ne tend pas vers $0$.