Exercice 9

1. Par la quantité conjuguée, $$2\Big(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\Big) = \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}.$$ Comme $2\sqrt{n} \leqslant \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \leqslant 2\sqrt{n + 1}$, on obtient $$\boxed{\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \leqslant 2\Big(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\Big) \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}}$$

2. La majoration, sommée de $k = 1$ à $n$, donne $S_{n} \geqslant 2\Big(\sqrt{n + 1} - 1\Big)$, par télescopage. La minoration, appliquée à $k - 1$ pour $2 \leqslant k \leqslant n$, donne $\frac{1}{\sqrt{k}} \leqslant 2\Big(\sqrt{k} - \sqrt{k - 1}\Big)$, d'où $S_{n} \leqslant 1 + 2\Big(\sqrt{n} - 1\Big)$. Ainsi $$2\sqrt{n + 1} - 2 \leqslant S_{n} \leqslant 2\sqrt{n} - 1.$$ Les deux bornes sont équivalentes à $2\sqrt{n}$, et la proposition 6 (encadrement) donne $\boxed{S_{n} \sim 2\sqrt{n}}$. En particulier, $S_{n}$ tend vers $+\infty$.