ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 10 — Analyse asymptotique et développements limités · Relations de comparaison

Exercice 10

Calcul

Entre deux.

1. Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites strictement positives telles que $u_{n} = o(v_{n})$ . Construire une suite $(w_{n})$ telle que $u_{n} = o(w_{n})$ et $w_{n} = o(v_{n})$ .

2. Trouver une fonction $f$ telle que, pour tout $\alpha > 0$ , $x^{\alpha} = o\big(f(x)\big)$ et $f(x) = o(\mathrm{e}^{\alpha x})$ au voisinage de $+\infty$ .

3. Trouver une fonction $f$ continue sur $[0\,,1]$ , telle que $f(0) = 0$ et $x^{\alpha} = o\big(f(x)\big)$ au voisinage de $0$ pour tout $\alpha > 0$ .

Corrigé

1. On prend la moyenne géométrique $w_{n} = \sqrt{u_{n}v_{n}}$ . Alors $\frac{u_{n}}{w_{n}} = \sqrt{\frac{u_{n}}{v_{n}}}$ et $\frac{w_{n}}{v_{n}} = \sqrt{\frac{u_{n}}{v_{n}}}$ tendent vers $0$ : $\boxed{w_{n} = \sqrt{u_{n}v_{n}} \text{ convient}}$ .

2. On prend $f(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$ . Pour $\alpha > 0$ , $\frac{x^{\alpha}}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}} = \frac{t^{2\alpha}}{\mathrm{e}^{t}}$ avec $t = \sqrt{x}$ , qui tend vers $0$  ; et $\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{\mathrm{e}^{\alpha x}} = \mathrm{e}^{\sqrt{x} - \alpha x}$ tend vers $0$ , puisque $\sqrt{x} - \alpha x \sim -\alpha x$ . $\boxed{f(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}} \text{ convient}}$

3. On prend $f(x) = \dfrac{1}{1 - \ln x}$ pour $0 < x \leqslant 1$ , et $f(0) = 0$ . Elle est continue sur $]0\,,1]$ , et en $0$ puisque $1 - \ln x$ tend vers $+\infty$ . Pour $\alpha > 0$ , $\frac{x^{\alpha}}{f(x)} = x^{\alpha} - x^{\alpha}\ln x$ tend vers $0$ par croissances comparées. $\boxed{f(x) = \frac{1}{1 - \ln x} \text{ convient}}$ Elle tend vers $0$ plus lentement que toute puissance de $x$ .

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 4 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Limites infinies et comparaison Limite d'une fonction en un point

Thèmes

relations de comparaison, négligeabilité

Notions

négligeable, puissance réelle