Exercice 11

1. Pour $n > N$, on sépare les indices $k \leqslant N$ et $k > N$ : $$|U_{n} - V_{n}| \leqslant |U_{N} - V_{N}| + \sum_{k=N+1}^{n} |u_{k} - v_{k}| \leqslant |U_{N} - V_{N}| + \varepsilon\sum_{k=N+1}^{n} v_{k} \leqslant |U_{N} - V_{N}| + \varepsilon V_{n},$$ puisque les $v_{k}$ sont positifs. $\boxed{|U_{n} - V_{n}| \leqslant |U_{N} - V_{N}| + \varepsilon V_{n}}$

2. On divise par $V_{n} > 0$ : $\big|\frac{U_{n}}{V_{n}} - 1\big| \leqslant \frac{|U_{N} - V_{N}|}{V_{n}} + \varepsilon$. Comme $V_{n}$ tend vers $+\infty$, le premier terme est inférieur à $\varepsilon$ pour $n$ assez grand, et $\big|\frac{U_{n}}{V_{n}} - 1\big| \leqslant 2\varepsilon$. $\boxed{U_{n} \sim V_{n}}$

3. Comme $\sin\frac{1}{k} \sim \frac{1}{k}$ et $\ln\Big(1 + \frac{1}{k}\Big) \sim \frac{1}{k}$, avec des termes positifs, et que la somme harmonique tend vers $+\infty$, $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \sin\frac{1}{k} \sim \ln n, \qquad \sum_{k=1}^{n} \ln\Big(1 + \frac{1}{k}\Big) \sim \ln n}$$ Pour la seconde, la somme est télescopique : $\sum_{k=1}^{n} \big(\ln(k + 1) - \ln k\big) = \ln(n + 1) \sim \ln n$.

4. Non. Si $u_{1} = 1$, $v_{1} = 2$ et $u_{k} = v_{k} = \frac{1}{2^{k}}$ pour $k \geqslant 2$, alors $u_{n} \sim v_{n}$, mais $U_{n}$ et $V_{n}$ tendent vers $\frac{3}{2}$ et $\frac{5}{2}$, et ne sont pas équivalentes. $\boxed{\text{Le résultat tombe en défaut.}}$ Lorsque la somme converge, les premiers termes comptent autant que les derniers, et l'équivalence, qui ne contrôle que les derniers, ne suffit plus.