Exercice 12

Comme $(u_{n})$ est décroissante, $u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant u_{n-1}$, donc, pour $n \geqslant 2$, $$u_{n} + u_{n+1} \leqslant 2u_{n} \leqslant u_{n-1} + u_{n}.$$ Le membre de gauche est équivalent à $\frac{1}{n}$, et celui de droite à $\frac{1}{n - 1} \sim \frac{1}{n}$, par substitution. Par encadrement (proposition 6), $2u_{n} \sim \frac{1}{n}$. $$\boxed{u_{n} \sim \frac{1}{2n}}$$ Piège. Sans l'hypothèse de monotonie, le résultat est faux : la suite définie par $u_{n} = \frac{1}{2n} + (-1)^{n}$ vérifie $u_{n} + u_{n+1} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(n + 1)} \sim \frac{1}{n}$, mais elle ne tend même pas vers $0$.