Exercice 7

Pour $n \geqslant 2$, on isole les deux derniers termes : $$\sum_{k=0}^{n} k! = n! + (n - 1)! + \sum_{k=0}^{n-2} k!, \qquad\text{avec}\qquad 0 \leqslant \sum_{k=0}^{n-2} k! \leqslant (n - 1)(n - 2)! = (n - 1)!,$$ puisque la somme comporte $n - 1$ termes, tous majorés par $(n - 2)!$. Ainsi $n! \leqslant \sum_{k=0}^{n} k! \leqslant n! + 2(n - 1)!$, et en divisant par $n!$, $$1 \leqslant \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} k! \leqslant 1 + \frac{2}{n}.$$

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n} k! \sim n!}$$ La factorielle croît si vite que le dernier terme écrase la somme de tous les précédents. Ce n'est pas le cas pour une suite géométrique de raison $2$, où $\sum_{k=0}^{n} 2^{k} \sim 2 \cdot 2^{n}$.