Exercice 6

On compare deux à deux les termes voisins par leurs quotients, à l'aide des croissances comparées : $$\boxed{\begin{array}{c} \displaystyle \frac{1}{n^{2}} \ll \frac{1}{n\ln n} \ll \frac{1}{n} \ll \frac{\ln n}{n} \ll 1 \\[3mm] \displaystyle \ll n \ll n\ln n \ll \frac{n^{2}}{\ln n} \ll \sqrt{n\,\mathrm{e}^{n}} \ll \frac{\mathrm{e}^{n}}{n^{3}} \end{array}}$$ où $u_{n} \ll v_{n}$ signifie $u_{n} = o(v_{n})$. Les comparaisons délicates sont les suivantes : $$\frac{1/n^{2}}{1/(n\ln n)} = \frac{\ln n}{n} \to 0, \qquad \frac{1/(n\ln n)}{1/n} = \frac{1}{\ln n} \to 0, \qquad \frac{n\ln n}{n^{2}/\ln n} = \frac{(\ln n)^{2}}{n} \to 0.$$ Enfin $\frac{\mathrm{e}^{n}/n^{3}}{\sqrt{n\,\mathrm{e}^{n}}} = \frac{\mathrm{e}^{n/2}}{n^{7/2}} \to +\infty$ : la racine carrée divise l'exposant par deux, ce qui l'emporte sur toute puissance de $n$.