Exercice 5

(a) Le numérateur est équivalent à $\frac{x^{2}}{2} \times 1$, le dénominateur à $x^{2}$ : $\boxed{\frac{1}{2}}$.

(b) On a $\ln(1 + \sin x) \sim \sin x \sim x$ par substitution, et $\tan(6x) \sim 6x$ : $\boxed{\frac{1}{6}}$.

(c) On pose $h = \frac{\pi}{2} - x$ : $\sin^{2}x = \cos^{2}h = 1 - \sin^{2}h$, et $\ln(1 - \sin^{2}h) \sim -\sin^{2}h \sim -h^{2}$ : $\boxed{-1}$.

(d) On a $\ln(\cos x) \sim -\frac{x^{2}}{2}$ (cours, section 10.2) et $1 - \cos(2x) \sim 2x^{2}$ : $\boxed{-\frac{1}{4}}$.

(e) Le réel $u = \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 2}$ tend vers $0$, et $u \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$, donc $\ln(1 - u) \sim -u \sim -\frac{1}{\sqrt{x}}$. Comme $\sqrt{4x + 1} \sim 2\sqrt{x}$, le produit est équivalent à $-2$ : $\boxed{-2}$.

(f) On factorise par la seconde exponentielle : $\mathrm{e}^{1/x^{2}} - \mathrm{e}^{1/(x+1)^{2}} = \mathrm{e}^{1/(x+1)^{2}}\big(\mathrm{e}^{v} - 1\big)$, avec $$v = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}} \sim \frac{2}{x^{3}}.$$ Comme $v$ tend vers $0$, $\mathrm{e}^{v} - 1 \sim v$, et le premier facteur tend vers $1$ : l'expression est équivalente à $\frac{2}{x^{3}}$, et la limite vaut $\boxed{2}$.