Exercice 4

(a) En $0^{+}$, $\ln x$ tend vers $-\infty$ et domine : $x + 1 + \ln x \sim \ln x$. En $+\infty$, $x$ domine par croissances comparées : $x + 1 + \ln x \sim x$. $$\boxed{x + 1 + \ln x \underset{x \to 0^{+}}{\sim} \ln x, \qquad x + 1 + \ln x \underset{x \to +\infty}{\sim} x}$$

(b) On factorise : $1 - x^{2} = (1 - x)(1 + x) \sim 2(1 - x)$ en $1$. $\boxed{\sim 2(1 - x)}$

(c) On pose $x = 1 + h$ : $\ln(1 + h) \sim h$, donc $\boxed{\ln x \underset{x \to 1}{\sim} x - 1}$.

(d) $\operatorname{ch}\sqrt{x} = \frac{1}{2}\Big(\mathrm{e}^{\sqrt{x}} + \mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\Big)$, et $\mathrm{e}^{-\sqrt{x}} = o(\mathrm{e}^{\sqrt{x}})$ : $\boxed{\sim \frac{1}{2}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}$.

(e) Par produit et quotient d'équivalents usuels, $\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot x} = x^{2}$ : $\boxed{\sim x^{2}}$.

(f) On écrit $\ln(\sin x) = \ln x + \ln\frac{\sin x}{x}$. Le second terme tend vers $\ln 1 = 0$, alors que $\ln x$ tend vers $-\infty$ : $\boxed{\ln(\sin x) \underset{x \to 0^{+}}{\sim} \ln x}$.

(g) En $0$, $\ln\Big(1 + \frac{1}{x^{2}}\Big) = \ln(1 + x^{2}) - 2\ln|x|$, et le premier terme tend vers $0$ : l'expression est équivalente à $-2\ln|x|$. En $+\infty$, $\frac{1}{x^{2}}$ tend vers $0$, donc elle est équivalente à $\frac{1}{x^{2}}$. $$\boxed{\ln\Big(1 + \frac{1}{x^{2}}\Big) \underset{x \to 0}{\sim} -2\ln|x|, \qquad \ln\Big(1 + \frac{1}{x^{2}}\Big) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{x^{2}}}$$

(h) Par la quantité conjuguée, $\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} - 1} = \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1}} \sim \frac{2}{2x}$ : $\boxed{\sim \frac{1}{x}}$.

(i) On factorise : $\tan x - \sin x = \tan x\,(1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{x^{2}}{2}$ : $\boxed{\sim \frac{x^{3}}{2}}$. La factorisation remplace une différence, interdite, par un produit, autorisé.

(j) On pose $h = \frac{\pi}{2} - x \to 0^{+}$ : $\cos x = \sin h$, et $\ln(\sin h) \sim \ln h$ par (f). $\boxed{\ln(\cos x) \sim \ln\big(\frac{\pi}{2} - x\big)}$