Exercice 3

(a) On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} = \frac{2}{n^{2} - 1}$, d'où $\boxed{\sim \frac{2}{n^{2}}}$.

(b) Par la quantité conjuguée, $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} = \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}$, et le dénominateur est équivalent à $2\sqrt{n}$, d'où $\boxed{\sim \frac{1}{\sqrt{n}}}$.

(c) Le numérateur est équivalent à $n^{3}$, le dénominateur à $-2n^{2}$ : $\boxed{\sim -\frac{n}{2}}$.

(d) Comme $\frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ tend vers $0$, $\sin\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \sim \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$ : $\boxed{\sim \frac{1}{\sqrt{n}}}$.

(e) De même, $\ln\Big(1 + \frac{1}{n^{2} + 1}\Big) \sim \frac{1}{n^{2} + 1}$ : $\boxed{\sim \frac{1}{n^{2}}}$.

(f) On écrit $\ln(n + 2) - \ln(n + 1) = \ln\Big(1 + \frac{1}{n + 1}\Big)$, qui est équivalent à $\boxed{\frac{1}{n}}$. Il serait faux de dire que $\ln(n + 2) \sim \ln(n + 1)$ suffit : on ne soustrait pas des équivalents.

(g) On a $\mathrm{e}^{n} = o(n!)$ et $2^{n} = o(3^{n})$ (chapitre 7), d'où $\boxed{\sim \frac{n!}{3^{n}}}$.

(h) On a $n^{2} = o(2^{n})$, d'où $\boxed{\sim \big(\frac{2}{\mathrm{e}}\big)^{n}}$, qui tend vers $0$ puisque $2 < \mathrm{e}$.