Exercice 2

On remplace chaque expression par son terme prépondérant, en utilisant les règles de calcul (proposition 3) et la transitivité de $\sim$.

(a) Comme $\frac{1}{12n^{2}} = o\Big(\frac{1}{2n}\Big)$, on a $\frac{1}{2n} + \frac{1}{12n^{2}} \sim \frac{1}{2n}$, donc $\boxed{u_{n} \sim \frac{1}{2n}}$.

(b) Le quotient est équivalent à $\frac{n^{2}}{3n^{3}} = \frac{1}{3n}$ : $\boxed{u_{n} \sim \frac{1}{3n}}$.

(c) Le quotient est équivalent à $\frac{n^{2}}{-n^{3}}$ : $\boxed{u_{n} \sim -\frac{1}{n}}$.

(d) Un $o\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)$ est un $o\Big(\frac{1}{n}\Big)$ : $\boxed{u_{n} = 1 + o\Big(\frac{1}{n}\Big)}$. On ne gagne rien à conserver le second terme, qui est absorbé par le premier.

(e) Les trois termes sont des $o\Big(\frac{1}{\ln n}\Big)$, puisque $\frac{1}{n^{2}}$ et $\frac{1}{n}$ sont négligeables devant $\frac{1}{\ln n}$. On conclut que $\boxed{u_{n} = o\Big(\frac{1}{\ln n}\Big)}$. Le signe moins ne change rien, un $o$ n'ayant pas de signe.

(f) La différence de deux $o(n)$ est un $o(n)$, et non $0$ : $\boxed{u_{n} = o(n)}$.

(g) Un $o(n)$ est un $O(n)$ : $\boxed{u_{n} = O(n)}$.

(h) C'est la définition de l'équivalence : $\boxed{u_{n} \sim v_{n}}$.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $o(n) - o(n) = 0$ : chaque $o$ désigne une suite inconnue, et les deux suites n'ont aucune raison d'être égales.