Exercice 1

On utilise la caractérisation par le quotient (proposition 4 du cours) : $u_{n} \sim v_{n}$ si et seulement si $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ tend vers $1$.

(a) $\frac{n}{n + 1}$ tend vers $1$ : $\boxed{\text{vrai}}$. (b) $\frac{n^{2}}{n^{2} + n} = \frac{1}{1 + 1/n}$ tend vers $1$ : $\boxed{\text{vrai}}$.

(c) $\frac{\ln(10^{6}n)}{\ln n} = 1 + \frac{6\ln 10}{\ln n}$ tend vers $1$ : $\boxed{\text{vrai}}$. Le facteur $10^{6}$, énorme, ne devient qu'une constante additive après le logarithme.

(d) $\frac{\mathrm{e}^{n + 10^{-6}}}{\mathrm{e}^{n}} = \mathrm{e}^{10^{-6}}$ est constant, différent de $1$ : $\boxed{\text{faux}}$, même si ce rapport vaut environ $1{,}000\,001$.

(e) $\frac{\mathrm{e}^{n}}{\mathrm{e}^{2n}} = \mathrm{e}^{-n}$ tend vers $0$ : $\boxed{\text{faux}}$, et l'on a même $\mathrm{e}^{n} = o(\mathrm{e}^{2n})$.

(f) $\frac{\ln(n + 1)}{\ln n} = 1 + \frac{\ln(1 + 1/n)}{\ln n}$ tend vers $1$ : $\boxed{\text{vrai}}$.

À retenir. Les questions (c) et (d) montrent que le logarithme écrase les facteurs multiplicatifs, alors que l'exponentielle amplifie les écarts additifs : il ne faut jamais composer un équivalent par $\exp$ sans vérification.