Exercice 35

1. On multiplie les trois développements $\frac{1}{1 - x} = \sum_{a=0}^{10} x^{a}$, $\frac{1}{1 - x^{2}} = \sum_{b=0}^{5} x^{2b}$ et $\frac{1}{1 - x^{5}} = 1 + x^{5} + x^{10}$, chacun à $o(x^{10})$ près, et l'on tronque au degré $10$ : $$\boxed{u(x) = 1 + x + 2x^{2} + 2x^{3} + 3x^{4} + 4x^{5} + 5x^{6} + 6x^{7} + 7x^{8} + 8x^{9} + 10x^{10} + o(x^{10})}$$

2. En développant le produit, chaque terme est de la forme $x^{a} \cdot x^{2b} \cdot x^{5c} = x^{a + 2b + 5c}$, et le coefficient de $x^{10}$ compte les triplets $(a, b, c)$ tels que $a + 2b + 5c = 10$. On les retrouve directement : pour $c = 0$, $b$ va de $0$ à $5$ ($6$ triplets) ; pour $c = 1$, $b$ va de $0$ à $2$ ($3$ triplets) ; pour $c = 2$, un seul. $$\boxed{10 \text{ façons de payer } 10 \text{ centimes avec des pièces de } 1, 2 \text{ et } 5 \text{ centimes}}$$ C'est l'idée des séries génératrices, que l'on reverra en dénombrement : un développement limité range un problème de comptage dans ses coefficients.