Exercice 34

1. Par la somme géométrique, $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathrm{e}^{kx}$ pour $x \neq 0$, et aussi pour $x = 0$. En développant chaque exponentielle, $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \Big(1 + kx + \frac{k^{2}x^{2}}{2} + \frac{k^{3}x^{3}}{6}\Big) + o(x^{3}) = (n + 1) + \Big(\sum k\Big)x + \frac{1}{2}\Big(\sum k^{2}\Big)x^{2} + \frac{1}{6}\Big(\sum k^{3}\Big)x^{3} + o(x^{3}).$$

2. À partir du quotient, en écrivant $$\mathrm{e}^{(n+1)x} - 1 = (n + 1)x\Big(1 + \frac{(n + 1)x}{2} + \frac{(n + 1)^{2}x^{2}}{6} + \frac{(n + 1)^{3}x^{3}}{24}\Big) + o(x^{4})$$ et de même pour $\mathrm{e}^{x} - 1$, puis en divisant, le calcul donne le coefficient de $x^{3}$ : $$\frac{n^{4}}{24} + \frac{n^{3}}{12} + \frac{n^{2}}{24} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{24}.$$ Par unicité du développement, $\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{24}$. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} = \Big(\frac{n(n + 1)}{2}\Big)^{2}}$$ Les coefficients d'ordre $1$ et $2$ redonnent de même les sommes $\frac{n(n + 1)}{2}$ et $\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ du chapitre 3.