Exercice 33

On développe les quatre fonctions à l'ordre $2$ en $0$ : $$f(x) = 1 - x + x^{2} + o(x^{2}), \qquad g(x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}),$$

$$h(x) = \sqrt{1 - 2x + o(x^{2})} = 1 - x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}), \qquad k(x) = 1 - \frac{2x}{2} + \frac{4x^{2}}{24} + o(x^{2}) = 1 - x + \frac{x^{2}}{6} + o(x^{2}).$$ Pour $h$, on a utilisé $\sin x = x + o(x^{2})$ et $\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + o(u^{2})$ avec $u = -2x + o(x^{2})$ ; pour $k$, le développement de $\cos$ en $\sqrt{2x}$ fait apparaître des puissances entières de $x$. Les quatre courbes ont la même tangente $y = 1 - x$. Les différences sont équivalentes à des multiples positifs de $x^{2}$ : par exemple $f - g \sim \frac{x^{2}}{2}$, $g - k \sim \frac{x^{2}}{3}$, $k - h \sim \frac{2x^{2}}{3}$. $$\boxed{\text{au voisinage de } 0^{+} : \ h < k < g < f}$$ Toutes ces courbes collent à la même droite, mais s'en écartent avec des courbures différentes : le coefficient de $x^{2}$ mesure cet écartement.