Exercice 32

Dans chaque cas, on pose $t = \frac{1}{x} \to 0^{+}$ et l'on développe jusqu'au premier terme qui tend vers $0$.

(a) $(x + 1)\mathrm{e}^{t} = (x + 1)\Big(1 + t + \frac{t^{2}}{2} + o(t^{2})\Big) = x + 2 + \frac{3}{2x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big)$ : asymptote $y = x + 2$, courbe au-dessus.

(b) $x^{2}\ln(1 + t) = x^{2}\Big(t - \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{3} + o(t^{3})\Big) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big)$ : asymptote $y = x - \frac{1}{2}$, courbe au-dessus.

(c) Avec $\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{t}} = \frac{1}{2} - \frac{t}{4} + o(t^{2})$ (exercice 29), $$\frac{x + 1}{1 + \mathrm{e}^{t}} = (x + 1)\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{4x} + o\Big(\frac{1}{x^{2}}\Big)\Big) = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big) :$$ asymptote $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$, courbe au-dessous.

(d) $\frac{2x}{x^{2} - 1} = \frac{2t}{1 - t^{2}} = 2t + o(t^{2})$, donc $\exp\Big(\frac{2x}{x^{2} - 1}\Big) = 1 + 2t + 2t^{2} + o(t^{2})$, et la fonction vaut $x + 2 + \frac{2}{x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big)$ : asymptote $y = x + 2$, courbe au-dessus.

(e) $\sqrt[3]{(x^{2} - 2)(x + 3)} = x\big(1 + 3t - 2t^{2} + O(t^{3})\big)^{1/3} = x\Big(1 + t - \frac{5}{3}t^{2} + o(t^{2})\Big) = x + 1 - \frac{5}{3x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big)$ : asymptote $y = x + 1$, courbe au-dessous. $$\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & (a) & (b) & (c) & (d) & (e) \\ \hline \text{asymptote} & y = x + 2 & y = x - \frac{1}{2} & y = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} & y = x + 2 & y = x + 1 \\ \text{position} & \text{au-dessus} & \text{au-dessus} & \text{au-dessous} & \text{au-dessus} & \text{au-dessous} \end{array}}$$