Exercice 31

On a $f_{a}(x) = \Big(x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}\Big) - x + ax^{2} + o(x^{3}) = \Big(a - \frac{1}{2}\Big)x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$. Le coefficient de $x$ est nul, donc $f_{a}'(0) = 0$ : $0$ est un point critique, et $f_{a}''(0) = 2a - 1$.

• Si $a > \frac{1}{2}$, alors $f_{a}''(0) > 0$ : minimum local strict (proposition 15).

• Si $a < \frac{1}{2}$, alors $f_{a}''(0) < 0$ : maximum local strict.

• Si $a = \frac{1}{2}$, alors $f_{a}(x) - f_{a}(0) \sim \frac{x^{3}}{3}$ change de signe en $0$ : pas d'extremum.

$$\boxed{a > \frac{1}{2} : \text{minimum} ; \quad a < \frac{1}{2} : \text{maximum} ; \quad a = \frac{1}{2} : \text{aucun extremum}}$$ Le cas limite est exactement celui où la condition d'ordre $2$ ne permet pas de conclure, et où le terme d'ordre $3$ prend le relais.