Exercice 30

Avec $\operatorname{Arcsin} x = x\Big(1 + \frac{x^{2}}{6} + \frac{3x^{4}}{40} + o(x^{4})\Big)$, on obtient $\frac{1}{\operatorname{Arcsin} x} = \frac{1}{x}\Big(1 - \frac{x^{2}}{6} + \Big(\frac{1}{36} - \frac{3}{40}\Big)x^{4} + o(x^{4})\Big)$, d'où $$\frac{1}{x} - \frac{1}{\operatorname{Arcsin} x} = \frac{x}{6} + \frac{17x^{3}}{360} + o(x^{3}).$$ La fonction tend vers $0$ : elle se prolonge par continuité en posant $f(0) = 0$. Le prolongement admet un développement limité à l'ordre $1$, donc il est dérivable en $0$, avec $f'(0) = \frac{1}{6}$ (proposition 10). $$\boxed{f(0) = 0, \quad f'(0) = \frac{1}{6}, \quad \text{tangente } y = \frac{x}{6}, \text{ traversée en } 0}$$ L'écart est équivalent à $\frac{17x^{3}}{360}$ : la courbe est au-dessous de sa tangente pour $x < 0$ et au-dessus pour $x > 0$.