Exercice 36

On a $\ln u_{n} = n\ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)$. Donc $$\ln\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\Big) + \frac{1}{3}\Big(\frac{1}{(n + 1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\Big) + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big) = \frac{1}{2n(n + 1)} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big),$$

$$\boxed{\ln\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{1}{2n^{2}} + o\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)}$$ Par la proposition 13, ce logarithme est strictement positif à partir d'un certain rang : $(u_{n})$ est croissante à partir de ce rang. On sait en fait qu'elle est croissante dès $n = 1$, mais le développement donne en plus la vitesse : $\mathrm{e} - u_{n} \sim \frac{\mathrm{e}}{2n}$.