Exercice 37

1. Pour $|x|$ grand, $\sqrt{x^{4} + x^{3} + 1} = x^{2}\sqrt{1 + t + t^{4}}$ avec $t = \frac{1}{x}$, et $\sqrt{1 + v} = 1 + \frac{v}{2} - \frac{v^{2}}{8} + \frac{v^{3}}{16} + o(v^{3})$ avec $v = t + t^{4}$ : $$\boxed{\sqrt{x^{4} + x^{3} + 1} \underset{x \to \pm\infty}{=} x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16x} + o\Big(\frac{1}{x}\Big)}$$

2. Si $(x, y) \in E$, alors $(x, -y) \in E$, et l'on peut supposer $y \geqslant 0$, donc $y = \sqrt{x^{4} + x^{3} + 1}$. D'après la question 1, il existe $A$ tel que, pour $|x| \geqslant A$, $y = x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \varepsilon$ avec $|\varepsilon| < \frac{1}{8}$.

• Si $x$ est pair, $N = x^{2} + \frac{x}{2}$ est un entier, et $y \in \,]N - \frac{1}{4}\,,N[$ n'est pas entier.

• Si $x$ est impair, $x^{2} + \frac{x}{2} = M + \frac{1}{2}$ avec $M$ entier, et $y \in \,]M + \frac{1}{4}\,,M + \frac{1}{2}[$ n'est pas entier.

Les éléments de $E$ ont donc $|x| < A$, et pour chacun de ces $x$, il y a au plus deux valeurs de $y$ : $\boxed{E \text{ est fini}}$. Une recherche par ordinateur pour $|x| \leqslant 200$ donne $$E = \{(-2, \pm 3), (-1, \pm 1), (0, \pm 1), (2, \pm 5)\}.$$