Exercice 38

1. La fonction $\varphi : x \mapsto x + \ln x$ est continue et strictement croissante sur $]0\,,+\infty[$, de limites $-\infty$ et $+\infty$ : c'est une bijection de $]0\,,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ (chapitre 8). $\boxed{u_{n} = \varphi^{-1}(n) \text{ existe et est unique}}$

2. La fonction $\varphi^{-1}$ est croissante et non majorée, donc $u_{n} \to +\infty$. Alors $\ln u_{n} = o(u_{n})$, et $n = u_{n} + \ln u_{n} = u_{n}\big(1 + o(1)\big)$ : $u_{n} \sim n$. On en déduit $$u_{n} = n - \ln u_{n} = n - \ln n - \ln\frac{u_{n}}{n} = n - \ln n + o(1),$$ puisque $\frac{u_{n}}{n} \to 1$. $\boxed{u_{n} = n - \ln n + o(1)}$

3. On réinjecte : $\frac{u_{n}}{n} = 1 - \frac{\ln n}{n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big)$, donc $\ln\frac{u_{n}}{n} = -\frac{\ln n}{n} + o\Big(\frac{\ln n}{n}\Big)$, et $$\boxed{u_{n} = n - \ln n + \frac{\ln n}{n} + o\Big(\frac{\ln n}{n}\Big)}$$ Pour $n = 100$, ce développement donne $95{,}4409$, pour une valeur exacte $u_{100} \approx 95{,}4415$.