Exercice 39

1. La fonction $f_{n}$ est strictement croissante, puisque $f_{n}'(x) = 5x^{4} + n > 0$, de limites $\pm\infty$ : elle s'annule en un unique réel $u_{n}$. Comme $f_{n}(0) = -1 < 0$ et $f_{n}\Big(\frac{1}{n}\Big) = \frac{1}{n^{5}} > 0$, on a $\boxed{0 < u_{n} < \frac{1}{n}}$.

2. L'égalité $f_{n}(u_{n}) = 0$ s'écrit $nu_{n} = 1 - u_{n}^{5}$, qui tend vers $1$ : $u_{n} \sim \frac{1}{n}$. Puis $$\frac{1}{n} - u_{n} = \frac{u_{n}^{5}}{n} \sim \frac{1}{n^{6}}. \qquad \boxed{u_{n} \sim \frac{1}{n}, \qquad \frac{1}{n} - u_{n} \sim \frac{1}{n^{6}}}$$ L'approximation $u_{n} \approx \frac{1}{n}$ est donc remarquablement bonne : pour $n = 10$, l'erreur est de l'ordre de $10^{-6}$.