Exercice 40

1. La fonction $\psi : x \mapsto x - \ln x$ a pour dérivée $1 - \frac{1}{x} < 0$ sur $]0\,,1[$ : elle est continue, strictement décroissante sur $]0\,,1]$, de $+\infty$ à $\psi(1) = 1$. Elle réalise une bijection de $]0\,,1]$ sur $[1\,,+\infty[$, qui contient $n$. $\boxed{x_{n} \text{ existe et est unique}}$

2. L'équation s'écrit $\ln x_{n} = x_{n} - n$, soit $x_{n} = \mathrm{e}^{-n}\mathrm{e}^{x_{n}}$. Comme $x_{n} \leqslant 1$, on a $0 < x_{n} \leqslant \mathrm{e}^{1-n}$, donc $x_{n} \to 0$, puis $\mathrm{e}^{x_{n}} \to 1$ et $\boxed{x_{n} \sim \mathrm{e}^{-n}}$.

3. On réinjecte dans $x_{n} = \mathrm{e}^{-n}\mathrm{e}^{x_{n}}$. D'abord $\mathrm{e}^{x_{n}} = 1 + x_{n} + o(x_{n}) = 1 + \mathrm{e}^{-n} + o(\mathrm{e}^{-n})$, d'où $x_{n} = \mathrm{e}^{-n} + \mathrm{e}^{-2n} + o(\mathrm{e}^{-2n})$. Ensuite $\mathrm{e}^{x_{n}} = 1 + x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{2} + o(x_{n}^{2}) = 1 + \mathrm{e}^{-n} + \frac{3}{2}\mathrm{e}^{-2n} + o(\mathrm{e}^{-2n})$, et $$\boxed{x_{n} = \mathrm{e}^{-n} + \mathrm{e}^{-2n} + \frac{3}{2}\mathrm{e}^{-3n} + o(\mathrm{e}^{-3n})}$$ Chaque réinjection gagne un ordre : c'est la méthode du point fixe, appliquée aux développements.