Exercice 41

1. On calcule $P_{n}(0) = -1$, $P_{n}(1) = n - 1$, $P_{n}(3) = 11 - 3n$, et $P_{n}(x) \to +\infty$ en $+\infty$. Pour $n \geqslant 4$, les signes $-$, $+$, $-$, $+$ et le théorème des valeurs intermédiaires donnent une racine dans chacun des intervalles $]0\,,1[$, $]1\,,3[$ et $]3\,,+\infty[$ . $\boxed{0 < a_{n} < 1 < b_{n} < 3 < c_{n}}$

2. La différence $P_{n}(x) - (x - a_{n})(x - b_{n})(x - c_{n})$ est un polynôme de degré au plus $2$ qui s'annule en trois réels distincts ; un trinôme non nul ayant au plus deux racines, elle est nulle. En développant le produit et en identifiant les coefficients, $$\boxed{a_{n} + b_{n} + c_{n} = n + 2, \qquad a_{n}b_{n} + b_{n}c_{n} + c_{n}a_{n} = 2n + 1, \qquad a_{n}b_{n}c_{n} = 1}$$

3. Comme $1 < a_{n} + b_{n} < 4$, on a $c_{n} = n + 2 - (a_{n} + b_{n}) = n + O(1)$, donc $c_{n} \sim n$. Ensuite $a_{n} = \frac{1}{b_{n}c_{n}} \leqslant \frac{1}{c_{n}} \to 0$. La deuxième relation donne $a_{n} + b_{n} = \frac{2n + 1 - a_{n}b_{n}}{c_{n}}$, où $0 < a_{n}b_{n} < 3$, donc $a_{n} + b_{n} \to 2$ et $b_{n} \to 2$. Enfin $a_{n} = \frac{1}{b_{n}c_{n}} \sim \frac{1}{2n}$. $$\boxed{c_{n} \sim n, \qquad \lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 2, \qquad a_{n} \sim \frac{1}{2n}}$$ Pour $n = 1\,000$, on trouve numériquement $c_{n} \approx 999{,}999$, $b_{n} \approx 2{,}0005$ et $2na_{n} \approx 0{,}99975$.