Exercice 42

1. Pour $u > 0$, $0 < \operatorname{Arctan} u < u$ (la fonction $u \mapsto u - \operatorname{Arctan} u$ s'annule en $0$ et a pour dérivée $\frac{u^{2}}{1 + u^{2}} > 0$). Par récurrence, $(u_{n})$ est strictement positive et décroissante : elle converge vers $\ell \geqslant 0$ tel que $\operatorname{Arctan}\ell = \ell$, donc $\boxed{\ell = 0}$.

2. On a $\operatorname{Arctan} u = u\Big(1 - \frac{u^{2}}{3} + o(u^{2})\Big)$, donc $\operatorname{Arctan}^{2}u = u^{2}\Big(1 - \frac{2u^{2}}{3} + o(u^{2})\Big)$ et $$\frac{1}{\operatorname{Arctan}^{2}u} - \frac{1}{u^{2}} = \frac{1}{u^{2}}\Big(\frac{2u^{2}}{3} + o(u^{2})\Big) \xrightarrow[u \to 0]{} \frac{2}{3}.$$ Par substitution de $u = u_{n}$, $\frac{1}{u_{n+1}^{2}} - \frac{1}{u_{n}^{2}} \to \frac{2}{3}$. Le lemme de Cesàro (proposition 16) donne $\frac{1}{nu_{n}^{2}} \to \frac{2}{3}$, soit $$\boxed{u_{n} \sim \sqrt{\frac{3}{2n}}}$$