Exercice 43

La suite est strictement positive et croissante, puisque $u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{u_{n}} > 0$. Si elle convergeait vers $\ell > 0$, on aurait $\ell = \ell + \frac{1}{\ell}$, ce qui est absurde : $u_{n} \to +\infty$. Alors $$u_{n+1}^{2} - u_{n}^{2} = 2 + \frac{1}{u_{n}^{2}} \longrightarrow 2,$$ et le lemme de Cesàro donne $\frac{u_{n}^{2}}{n} \to 2$ : $\boxed{u_{n} \sim \sqrt{2n}}$. L'astuce est d'élever au carré : la relation de récurrence, inutilisable telle quelle, devient presque arithmétique.