Exercice 44

La suite est croissante, puisque $\mathrm{e}^{-x_{n}} > 0$. Si elle était majorée, elle convergerait vers un réel $\ell$ tel que $\ell = \ell + \mathrm{e}^{-\ell}$, ce qui est impossible : $x_{n} \to +\infty$. Ensuite $$\mathrm{e}^{x_{n+1}} - \mathrm{e}^{x_{n}} = \mathrm{e}^{x_{n}}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{-x_{n}}} - 1\big) = \mathrm{e}^{x_{n}}\big(\mathrm{e}^{-x_{n}} + O(\mathrm{e}^{-2x_{n}})\big) = 1 + O(\mathrm{e}^{-x_{n}}) \longrightarrow 1.$$ Par le lemme de Cesàro, $\mathrm{e}^{x_{n}} \sim n$, et en prenant le logarithme, $x_{n} = \ln n + \ln\frac{\mathrm{e}^{x_{n}}}{n}$, où le second terme tend vers $0$. $$\boxed{x_{n} = \ln n + o(1)}$$