Exercice 45

1. La fonction $\varphi : u \mapsto u(1 - 3u)$ envoie $]0\,,\frac{1}{3}[$ dans $]0\,,\frac{1}{12}]$, son maximum étant $\varphi(\frac{1}{6}) = \frac{1}{12}$. Par récurrence, $u_{n} \in \,]0\,,\frac{1}{3}[$, et $u_{n+1} - u_{n} = -3u_{n}^{2} < 0$ : la suite décroît et converge vers $\ell$ tel que $\ell = \ell - 3\ell^{2}$, d'où $\boxed{\ell = 0}$.

2. Avec $\frac{1}{1 - 3u} = 1 + 3u + 9u^{2} + O(u^{3})$, $$w_{n+1} = \frac{1}{u_{n}(1 - 3u_{n})} = \frac{1}{u_{n}} + 3 + 9u_{n} + O(u_{n}^{2}), \qquad\text{soit}\qquad \boxed{w_{n+1} - w_{n} = 3 + 9u_{n} + O(u_{n}^{2})}$$ Cette différence tend vers $3$ ; par le lemme de Cesàro, $w_{n} \sim 3n$, soit $\boxed{u_{n} \sim \frac{1}{3n}}$.

3. On a $w_{n+1} - w_{n} - 3 = 9u_{n} + O(u_{n}^{2}) \sim 9u_{n} \sim \frac{3}{n}$. Cette suite est donc strictement positive à partir d'un certain rang, et la somme des $\frac{3}{k}$ tend vers $+\infty$ : l'exercice 11, appliqué à partir de ce rang, donne $$w_{n} - w_{0} - 3n = \sum_{k=0}^{n-1} (w_{k+1} - w_{k} - 3) \sim 3\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \sim 3\ln n, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{w_{n} - 3n \sim 3\ln n}$$ la constante $w_{0}$ étant négligeable devant $\ln n$.

4. On a $w_{n} = 3n + 3\ln n + o(\ln n)$, donc $$u_{n} = \frac{1}{3n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{\ln n}{n} + o\Big(\frac{\ln n}{n}\Big)}, \qquad \boxed{u_{n} = \frac{1}{3n} - \frac{\ln n}{3n^{2}} + o\Big(\frac{\ln n}{n^{2}}\Big)}$$ Piège. Numériquement, la vérification est décevante : pour $n = 10^{6}$ et $u_{0} = 0{,}1$, on trouve $w_{n} - 3n \approx 48$, alors que $3\ln n \approx 41$. L'écart vient d'une constante, négligeable devant $\ln n$ mais encore visible : un équivalent ne dit rien de la vitesse à laquelle le rapport tend vers $1$.