Exercice 46

1. On a $u_{1} = \sqrt{0 + 0} = 0$, et $0 \leqslant u_{1} \leqslant 1$. Si $n - 1 \leqslant u_{n} \leqslant n$, alors $$n^{2} \leqslant n^{2} + n - 1 \leqslant u_{n} + n^{2} \leqslant n^{2} + n \leqslant (n + 1)^{2},$$ donc $n \leqslant u_{n+1} \leqslant n + 1$. Par récurrence, $\boxed{n - 1 \leqslant u_{n} \leqslant n}$ pour tout $n \geqslant 1$.

2. On écrit $u_{n+1} = n\sqrt{1 + v_{n}}$ avec $v_{n} = \frac{u_{n}}{n^{2}} = O\Big(\frac{1}{n}\Big)$, et $\sqrt{1 + v} = 1 + \frac{v}{2} + O(v^{2})$ : $$u_{n+1} = n + \frac{u_{n}}{2n} + O\Big(\frac{1}{n}\Big) = n + \frac{1}{2} + O\Big(\frac{1}{n}\Big),$$ puisque $\frac{u_{n}}{2n} = \frac{1}{2} + O\Big(\frac{1}{n}\Big)$ par la question 1. En remplaçant $n$ par $n - 1$, $\boxed{u_{n} = n - \frac{1}{2} + O\Big(\frac{1}{n}\Big)}$.

3. On pousse d'un ordre : $v_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + O\Big(\frac{1}{n^{3}}\Big)$ et $\sqrt{1 + v} = 1 + \frac{v}{2} - \frac{v^{2}}{8} + O(v^{3})$, d'où $$u_{n+1} = n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4n} - \frac{1}{8n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big) = n + \frac{1}{2} - \frac{3}{8n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big).$$ En remplaçant $n$ par $n - 1$, et puisque $\frac{1}{n - 1} = \frac{1}{n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)$, $$\boxed{u_{n} = n - \frac{1}{2} - \frac{3}{8n} + o\Big(\frac{1}{n}\Big)}$$ Pour $n = 200$, la suite vaut $199{,}498\,115\,5$ et le développement $199{,}498\,125$ : l'écart est de l'ordre de $\frac{1}{n^{2}}$.