Exercice 53

1. On a $\mathrm{e}^{x} - 1 = x\big(1 + O(x)\big)$, donc $(\mathrm{e}^{x} - 1)^{n} = x^{n}\big(1 + O(x)\big)^{n} = \boxed{x^{n} + o(x^{n})}$.

2. Par la formule du binôme, $(\mathrm{e}^{x} - 1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-1)^{n-k}\mathrm{e}^{kx}$, et $\mathrm{e}^{kx} = \sum_{p=0}^{n} \frac{k^{p}x^{p}}{p!} + o(x^{n})$, avec la convention $0^{0} = 1$ pour $k = 0$. En regroupant les termes de même degré, $$(\mathrm{e}^{x} - 1)^{n} = \sum_{p=0}^{n} \Big(\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^{p}\Big)\frac{x^{p}}{p!} + o(x^{n}) = \sum_{p=0}^{n} \frac{S_{p}}{p!}x^{p} + o(x^{n}).$$

3. Par unicité du développement limité à l'ordre $n$, les questions 1 et 2 donnent $\frac{S_{p}}{p!} = 0$ pour $p < n$ et $\frac{S_{n}}{n!} = 1$. $$\boxed{S_{p} = 0 \text{ pour } 0 \leqslant p < n, \qquad S_{n} = n!}$$ Pour $n = 2$ : $S_{0} = 1 - 2 + 1 = 0$, $S_{1} = 0 - 2 + 2 = 0$ et $S_{2} = 0 - 2 + 4 = 2 = 2!$. Le chapitre 21 montrera que $S_{p}$ compte les surjections d'un ensemble à $p$ éléments sur un ensemble à $n$ éléments : il n'y en a aucune si $p < n$, et ce sont les $n!$ bijections si $p = n$.