Exercice 54

1. La fonction $u \mapsto u - \operatorname{th} u$ a pour dérivée $\operatorname{th}^{2}u > 0$ sur $]0\,,+\infty[$ et s'annule en $0$ : elle est strictement positive, d'où $\operatorname{th} u < u$. Pour $x > 0$, avec $t = \frac{1}{x}$, $$f'(x) = \operatorname{sh} t - t\operatorname{ch} t = \operatorname{ch} t\,(\operatorname{th} t - t) < 0 :$$ $f$ est strictement décroissante. En $+\infty$, $f(x) = \frac{\operatorname{sh} t}{t} \to 1$ ; en $0^{+}$, $\frac{\operatorname{sh} t}{t} \geqslant \frac{\mathrm{e}^{t} - 1}{2t} \to +\infty$ quand $t \to +\infty$. $\boxed{f \text{ décroît strictement de } +\infty \text{ à } 1}$

2. On a $\frac{\operatorname{sh} t}{t} = 1 + \frac{t^{2}}{6} + o(t^{2})$, donc $\boxed{f(x) = 1 + \frac{1}{6x^{2}} + o\Big(\frac{1}{x^{2}}\Big)}$.

3. La fonction $f$, continue et strictement décroissante, réalise une bijection de $]0\,,+\infty[$ sur $]1\,,+\infty[$, qui contient $\frac{n + 1}{n}$ : $u_{n}$ existe et est unique. La suite $\Big(\frac{n + 1}{n}\Big)$ est strictement décroissante, et $f^{-1}$ aussi, donc $(u_{n})$ est strictement croissante. Enfin $f^{-1}(y)$ tend vers $+\infty$ quand $y$ tend vers $1^{+}$, et $\frac{n + 1}{n} \to 1^{+}$ : $u_{n} \to +\infty$.

4. Par la question 2, $\frac{1}{n} = f(u_{n}) - 1 \sim \frac{1}{6u_{n}^{2}}$, d'où $u_{n}^{2} \sim \frac{n}{6}$, puis $$\boxed{u_{n} \sim \sqrt{\frac{n}{6}}}$$